Axiomas de Números Reales

Temas: Axiomas de los números reales, axiomas de la adicción, axiomas de la multiplicación, axiomas de la ley distributiva respecto a la adición, axiomas de orden, axiomas de la relación de igualdad de los números reales, axiomas del supremo.

Axiomas de Números Reales

1. Concepto: Sistema de los números reales es un conjunto no vacío denotado por R con dos operaciones internas llamadas:

Adición (+): Ψ (a,b) = a+b
Multiplicación (.): Ψ (a,b) = a.b

y una relación de orden “<” (<, se lee “menor que”); el cual satisface los siguientes axiomas.

2. Axiomas de Adición

✍ A₁: Ley de Clausura: ∀ a, b ∈ R → a + b ∈ R

✍ A₂: Ley Conmutativa: ∀ a, b ∈ R → a + b = b + a

✍ A₃: Ley Asociativa: ∀ a, b, c ∈ R → ( a + b ) + c = a + ( b + c )

✍ A₄: Existencia y unicidad del elemento neutro aditivo
Existe un valor único ∈ R, denotado por “0” (0, se lee cero) tal que ∀ a ∈ R: a + 0 = a = 0 + a

✍ A₅: Existencia y unicidad del elemento inverso aditivo
∀ a ∈ R, existe un valor único denotado por -a tal que: ∀ a ∈ R: a + (-a) = 0 = (-a) + a

3. Axioma de Multiplicación

✍ M₁: Ley de Clausura: ∀ a,b ∈ R → a.b ∈ R

✍ M₂: Ley Conmutativa: ∀ a,b ∈ R → a.b = b.a

✍ M₃: Ley Asociativa: ∀ a,b,c ∈ R → (a.b).c =  a.(b.c)

✍ M₄: Existencia y unicidad del elemento neutro multiplicativo
Existe un valor único ∈ R, denotado por “1” (1, se lee uno) tal que: ∀ a ∈ R: a.1 = a = 1.a

✍ M₅: Existencia y unicidad del elemento inverso multiplicativo
∀ a ∈ R/a ≠ 0; existe un valor único denotado por a ⁻¹ tal que: a. a ⁻¹ = 1 = a ⁻¹. A

4. Axiomas de la ley distributiva respecto a la adición

∀ a, b, c ∈ R

✍ D₁: Distributividad por la izquierda: a (b + c) = a b + a c
✍ D₂: Distributividad por la derecha: (a + b) c = ac + bc


5. Axiomas de orden

✍ O₁ = Ley de Tricotomía
Dados a y b ∈ R; se cumple una y solamente una de las siguiente relaciones: a < b, a = b, b < a

✍ O₂ = Ley Transitiva, ∀ a, b, c ∈ R, se cumple Si;  a < b ∧ b < c ⇒ a < c

✍ O₃ = Ley de la Monotonía

i) ∀ a, b, c ∈ R; si a < b ⇒ a + c < b + c
ii) Si a < b  ∧ 0 < c ⇒ ac < bc
iii) Si a < b ∧ c < 0 ⇒ bc < ac

6. Axiomas de la relación de igualdad de los números reales

∀ a, b, c ∈ R, se cumple:

✍ Dicotomía: a = b ∨ a ≠ b
✍ Reflexividad: a = a
✍ Simetría: a = b → b = a
✍ Transitividad: Si: a = b ∧ b = c → a = c
✍ Unicidad de la adición: Si: a = b ⇒ a+c = b+c
✍ Unicidad de la multiplicación: Si: a = b ⇒ a.c = b.c

7. Axiomas del Supremo

✍ Todo conjunto A de números reales (A ≠ 0: no vacío) acotado superiormente, tiene una menor cota superior, llamado supremo de A.
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