lunes, 2 de marzo de 2015

Análisis Vectorial

Análisis Vectorial

Vector (también llamado vector euclidiano o vector geométrico)

ⓐ Conceptos
✍ Vector en física, es una herramienta geométrica utilizada para representar una magnitud física orientada.
✍ Vector en matemática, es utilizada en álgebra lineal, es todo elemento de un espacio vectorial.

ⓑ Partes de un vector

Si representamos el vector gráficamente podemos diferenciar:

Dirección de un Vector 

Sentido de un vector Punto de aplicación de un vector

Nombre de un Vector Partes de un vector
Partes de un Vector | Fuente: Wikimedia Commons
✍ La recta soporte o dirección, sobre la que se traza el vector.
✍ El módulo o amplitud con una longitud proporcional al valor del vector.
✍ El sentido, indicado por la punta de flecha, siendo uno de los dos posibles sobre la recta soporte.
✍ El punto de aplicación que corresponde al lugar geométrico al cual corresponde la característica vectorial representado por el vector.
✍ El nombre o denominación es la letra, signo o secuencia de signos que define al vector.

 Representación de un vector:

En general un vector se representa de la siguiente forma:


Métodos para calcular la resultante

 Método del Triángulo
Se utiliza para calcular la resultante de dos vectores concurrentes y coplanares que están uno a continuación del otro. Gráficamente se construye un triángulo, trazando el vector resultante desde el origen del primer vector hasta el extremo del segmento vector.
 Método del Paralelogramo
Se utiliza para calcular la resultante de dos vectores concurrentes y coplanares que tienen un mismo punto de origen. Gráficamente se construye un paralelogramo trazando paralelas a los vectores. El vector resultante se traza uniendo el origen de los vectores con la intercepción de las paralelas.


ⓒ Método del Polígono
Se utiliza para calcular la resultante de un conjunto de vectores concurrentes y coplanares. Es un método gráfico que utiliza escalas apropiadas y consiste en trazar los vectores uno a continuación del otro manteniendo sus características. El vector resultante (R) se traza uniendo el origen del primer vector con el extremo del último vector.
Método de las Componentes Rectangulares
Permite calcular el módulo y la dirección de la resultante de un conjunto de vectores.

Pasos a seguir:
✍ Se halla las componentes rectangulares.
✍ Se calcula la resultante en cada uno de los ejes coordenadas (Rx, Ry)
✍ Se calcula el módulo de la resultante aplicando Pitágoras y su dirección aplicando la función tangente.
Método de las componentes rectangulares

Nota: Componentes rectangulares de un vector

Son aquellos vectores que resultan de proyectar un vector sobre dos (o tres) ejes perpendiculares entre sí.
Más Temas:

viernes, 6 de febrero de 2015

El Volumen

El Volumen

Definición
El volumen es una magnitud escalar definida como la extensión en tres dimensiones de una región del espacio. Es una magnitud derivada de la longitud, debido a que se halla multiplicando la longitud, el ancho y la altura.

Unidad de medida
La unidad utilizada para calcular volúmenes es el m³ (metro cúbico), es decir, el volumen de un cubo cuya arista tiene una longitud de 1 metro. Igual que en la definición del metro cuadrado, es necesario destacar que la unidad metro cúbico no tiene por qué tener la forma de cubo, de cualquier material-cuya arista mida un metro-, y se lo divide en cubo más pequeños, la suma de las aristas de todos ellos suman siempre 1m.

Los múltiplos del metro cúbico
Los múltiplos del metro cúbico son unidades tan grandes que casi no se utilizan, excepto el kilómetro cúbico, que se aplica para medir el volumen de agua de los mares o para expresar el volumen de los astros. Cada múltiplo o sub múltiplo es 1.000 veces mayor que el inmediato inferior.
Un Dm³ (decámetro cúbico) es igual 1.000 m³, un Hm³ (hectómetro cúbico) equivale a 1.000.000m³, un Km (kilómetro cúbico) es igual a mil millones de m³ y un Mm³ (miriámetro cúbico) es igual a 1billón de m³.

Los submúltiplos del metro cúbico
Entre los submúltiplos están el dm³ (decímetro cúbico) igual a 0,001 m³, el cm³ (centímetro cúbico) equivalente a 0,000001 m³, y el mm³ (milímetro cúbico), igual a 0,000000001 m³.
El volumen, al igual que la superficie, se calcula demanera indirecta, por medio de fórmulas geométricas en las que sólo figuran longitudes.

El Estéreo
Años atrás se utilizaba una medida llamada estéreo para medir leña o carbón y era equivalente a un metro cúbico. Esta medida no dejó de usarse totalmente, aunque en la actualidad las operaciones comerciales se realizan en base al peso de la madera en vez de su volumen.

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Unidades de Volumen.
Medidas de Capacidad.

martes, 13 de enero de 2015

Definición Máximo Común Divisor (MCD)

Máximo Común Divisor (MCD)

Concepto: Se llama así al mayor divisor común que tiene un conjunto de números, por ejemplo:

Sean los números: 8; 12 y 20, cuyos divisores son:
8 → 1; 2; 4; 8
12 → 1; 2; 3; 4; 6; 12
20 → 1; 2; 4; 5; 10; 20

Observamos que los divisores comunes son: 1; 2 y 4, de los cuales el mayor es 4; entonces:

MCD (8; 12 y 20) = 4

Métodos para hallar el Máximo Común Divisor (MCD)

Existen varios métodos, estudiaremos inicialmente el método de “descomposición canónica”. Veamos un ejemplo:

Hallar el MCD de 60; 80 y 100:

✍ Paso 1: Hacemos la descomposición canónica de cada número.

Máximo Común Divisor (MCD)
✍ Paso 2: Para hallar el MCD, tomaremos las bases comunes (en las tres descomposiciones), con los menores exponentes que tengan.

∴ MCD (60; 80 y 100) = 2² . 5 = 20

Podemos abreviar este método, descomponiendo simultáneamente los números, pero solo tomando los factores comunes, veamos:
MCD

Luego: MCD (60; 80 y 100) = 2 . 2 . 5 = 20

Sugerimos: Investigar acerca del método llamado, "divisiones sucesivas".

Observaciones:
✍ Si un número contiene a otro, el  MCD de ambos es el menor de ellos.
✍ Si dos números son PESI (Primos entre sí), entonces su MCD es uno.

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✍ Las Matemáticas.
✍ La Divisibilidad.

miércoles, 26 de noviembre de 2014

Las Matemáticas
Concepto

Tradicionalmente, el concepto de matemática se ha identificado con el de una ciencia que trata acerca de los números y las figuras. Esta definición, superada con el tiempo, no abarcaba los conceptos y las nociones que fueron introduciendo los matemáticos modernos, por lo que en la actualidad es más acertado definirla como la ciencia del razonamiento lógico.

En efecto la matemática se ocupa de los símbolos abstractos y de las relaciones que se presentan entre ellos. Su saber es exacto y deductivo, y sus fundamentos se basan en los principios de la lógica, aunque también toma como base la teoría de conjuntos.

Disciplina se basta por sí misma


Asimismo, puede decirse que es una disciplina que se basta por sí misma. Esto marca una diferencia con las otras ciencias, en las que la creación y la elaboración en equipo son posibles y se necesita algo más que un lápiz y un papel para trabajar, ya que requieren instrumentos de experimentación e investigación.

Ahora bien, mientras que esta ciencia no necesita de ninguna otra, todas se sirven de ella, y sus adelantos determinan, generalmente, avances paralelos en las mismas.

Herramienta para los científicos e investigadores

La teoría matemática constituye una poderosa  y útil herramienta que los científicos utilizan en sus investigaciones, y para controlar y predecir los procesos físicos y biológicos. Facilita, además, la comprensión de los fenómenos naturales, como es el caso del modelo matemático que toma la astronomía, para explicar la traslación de los planetas alrededor del sol; o la aplicación y la relación entre la lógica y la ciencia experimental en computación, ya que la máquina computadora es capaz de resolver todo tipo de problemas planteados en términos matemáticos.

La física, la química la biología y la genética se nutren, obviamente, del conocimiento matemático; como en el caso del cálculo infinitesimal, sin cuyo advenimiento no hubiera tenido lugar los grandes logros de la tecnología moderna.

Otras aplicaciones importantes pueden ser vistas en la economía, donde, entre otras cosas, es utilizada para explicar la esencia del comportamiento económico, la geografía y la teoría de los juegos, tanto los de azar como ajedrez.

División de la matemática

La matemática  se divide en:

Aritmética, se ocupa de los números y sus relaciones.
✍ Geometría, trata las propiedades del espacio.
✍ Álgebra, generaliza las operaciones usando números, letras y signos.
✍ Trigonometría, calcula los elementos de los triángulos.

viernes, 12 de septiembre de 2014

Generatriz de un número decimal 

Para un número decimal exacto 
Se coloca en el numerador la parte decimal y en el denominador la unidad seguida de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal.

Ejemplos:
Generatriz de un número decimal exacto

Para un número decimal periódico puro

Se coloca en el numerador el período y en el denominador tantos nueves como cifras tenga el período.

Ejemplos:
Generatriz de un número decimal periodico puro

Para un número decimal periódico mixto 

Se coloca en el numerador la parte no periódica seguida de un período, menos a parte periódica y en el denominador se coloca tanto nueves como cifras tiene la parte periódica, seguido de tantos ceros como cifras tiene la parte no periódica. 

Ejemplos:
Generatriz de un número decimal periódico mixto
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jueves, 11 de septiembre de 2014

Método de falsa suposición

Este método se aplica a problemas que mencionan 4 datos y hay 2 incógnitas, aunque mayormente se pide resolver el problema para una de ellas.

Se caracteriza porque se parte de una suposición falsa y se llega fácilmente a un error (error total); detectado el error individual (error unitario), la incógnita se despeja fácilmente porque es el cociente de ellos.

Ejercicio Propuesto ① 

En un colegio hay 240 alumnos y se recauda mensualmente S/. 22 200 por concepto de pensiones. La pensión de primaria es /. 80 y de secundaria es S/. 100. ¿Cuántos alumnos hay en primaria?

Resolución:

Falsa suposición: Todos los alumnos son de secundaria.

Método de falsa suposición, ejercicio 1

✍ Por cada alumno de primaria considerado como de secundaria hay S/. 100 – S/. 80 = S/. 20 de exceso. (Error unitario).
Método de falsa suposición, resolución  1

✍ Notas:

I. Si se supone que todos los alumnos son de secundaria, se obtiene como respuesta el número de alumnos de primaria; y si se supone que todos los alumnos son de primaria, se obtiene como respuesta el número de alumnos de secundaria.


Ejercicio Propuesto ② 

Al comprar materiales de construcción pagué S/. 910 con 23 billetes, algunos de S/. 20 y otros de S/. 50. ¿Cuántos billetes eran de S/. 50?

Resolución:

✍ Falsa suposición: Todos los billetes son de S/. 20.


✍ Por cada billete de S/. 20 considerado como de S/. 50 hay S/. 50 – S/. 20 = S/. 30 que falta. (Error unitario).

Método de falsa suposición, resolución 2

martes, 9 de septiembre de 2014

Método del Cangrejo

Este método se aplica a problemas que mencionan operaciones sucesivas, de las cuales se conoce el resultado final y se pide averiguar el valor inicial; el procedimiento para resolverlo es del final hacia el inicio, es decir hacia atrás, por esto se denomina “método del cangrejo”, y en cada paso se efectúa la operación inversa a la indicada.

Ejercicio propuesto ①

Un número se multiplica por 2 y al resultado se le suma 3 obteniéndose 49. ¿Cuál es el número?

Resolución:

✍ Se obtuvo 49 después de sumar 3, entonces antes el resultado fue 49 – 3 = 46.
✍ Se obtuvo 46 después de multiplicar por 2, entonces el número anterior era 46: 2 = 23.

Respuesta: Por lo tanto el número es 23. 

En forma resumida podemos expresarlo así:

Método del cangrejo - Ejercicio propuesto ①

Ejercicio propuesto ② 

Al ver que su viaje de promoción no se realizó, Carlitos, estuvo gastando sus ahorros durante 2 días hasta quedarse con $ 20. En cada día gastaba la mitad + $ 1 de lo que quedaba el día anterior. ¿Cuánto había ahorrado Carlitos?

Resolución:

✍ En cada día gasta la mitad + $ 1, entonces le queda la mitad - $ 1. El segundo día se quedó con $ 20 y esto es la mitad de lo que le quedaba el primer día - $ 1.

✍ Se deduce que la mitad de lo que le quedaba el primer día es $ 21, entonces lo que le quedaba el primer día es el doble: $ 42. Pero, el primer día le quedó la mitad de sus ahorros - $ 1, entonces la mitad de sus ahorros es $ 43 y el total de sus ahorros es el doble: $ 86

✍ Este procedimiento se puede observar en la siguiente tabla:

Método del Cangrejo - Ejercicio propuesto ②

✍ Recordando que lo que le queda cada día es la mitad de lo que queda el día anterior - $ 1, si se desea observar las operaciones inversas, tendremos que:

Método del cangrejo - resolución ②

lunes, 8 de septiembre de 2014

Método de las diferencias

Este método se aplica a problemas que presentan 4 datos cuyas características son las siguientes:

Dos datos nos indican el cambio en los precios unitarios y se denomina “Diferencia Unitaria: D.U.”.
Los otros dos datos nos indican el cambio en los precios o ingresos totales, en el haber total, y se denomina “Diferencia Total: D.T.”
La incógnita se despeja dividiendo la diferencia total entre la diferencia unitaria.

Ejercicio propuesto 

Si un comerciante vende cada radio en $ 20 podrá comprar un automóvil y le sobrará $ 1200, pero si los vende a $ 18 cada uno comprará el automóvil y sólo le sobrará $ 200. ¿Cuál es el número de radios?

Resolución:
Ejercicio propuesto ①

Al vender cada radio en $ 18.

 En cada radio deja de recibir $ 2.
 En total dejó de recibir $ 1 000.
Resolución 1

Ejercicio propuesto 

Si ahorro S/. 60 mensuales me faltaría S/. 1 500 para comprar una computadora, pero si ahorro S/. 100 mensuales me sobraría S/. 300. ¿Cuántos meses tengo que ahorrar?

Ejercicio propuesto ②

Resolución:

Si ahorro S/. 100 mensuales:

En cada mes ahorro S/. 40 más.
En total ahorro S/. 1 800 más.
Resolución 2

viernes, 5 de septiembre de 2014

Binomio de Newton

Es una fórmula que nos permite encontrar el desarrollo de un binomio  elevado a cualquier exponente.

Deducción del binomio para exponente entero y positivo.

Deducción del binomio de newton para exponente entero y positivo
De estos desarrollos observamos:

✍ El desarrollo es un polinomio homogéneo, cuyo grado es igual al exponente del binomio.
✍ El número de términos que tiene el desarrollo es igual al exponente del binomio más uno.
✍ Los exponentes en el desarrollo varían consecutivamente desde el exponente del binomio hasta el expediente cero en forma descendente y ascendente con respecto a “a” y “b”.
✍ Los coeficientes de los términos equidistantes de los extremos en el desarrollo son iguales.
✍ En el desarrollo, cada coeficiente es igual al coeficiente anterior multiplicado por el exponente de “a” y dividido entre el exponente de “b” más uno.
✍ La suma de los coeficientes del desarrollo es igual al número 2 elevado al exponente del binomio.
✍ Si en el binomio, su signo central es negativo, los signos en el desarrollo, son alternados.

De acuerdo a estas observaciones tendríamos la siguiente forma genérica.

Binomio de Newton

Coeficientes Binomiales

Son los coeficientes de los términos del desarrollo de(a+b)n donde n puede ser entero, fraccionario, positivo y/o negativo.

En el binomio de newton si n es entero y positivo, su coeficiente binomial es:

Coeficiente Binomial

 Si n es fraccionario, su coeficiente binomial es:

Si n es fraccionario, su coeficiente binomial es

 De acuerdo a esto, se tendría.

jueves, 4 de septiembre de 2014

División algebraica
División algebraica | Fuente: Pizarra editada por Carpetapedagogica.com
División algebraica

Es la operación inversa a la multiplicación que tiene por objeto hallar una expresión algebraica llamado cociente; obtenida de otras dos expresiones algebraicas llamadas dividendo y divisor, de tal forma que el valor numérico del cociente sea igual al cociente de los valores numéricos del dividendo y divisor, para cualquier sistema de valores atribuidos a sus letras.

Elementos de una división

Dividendo: D
 Divisor: d
 Cociente: Q
 Resto  o  residuo: R

A) Cociente exacto (R = 0).- El resto de la división es un polinomio idénticamente nulo.

Cociente exacto (R = 0)

B) Cociente inexacto (R ≠ 0).-  El resto de la división es un polinomio no nulo.

Cociente inexacto (R ≠ 0)

Propiedades generales de la división algebraica

 En toda división algebraica el grado del cociente es igual al grado del dividendo menos el grado del divisor.
Qº = Dº - dº

 En toda división algebraica el grado del residuo máximo es una unidad menos que el grado del divisor.
max = dº - 1

 En toda división algebraica el término independiente del dividendo es igual al producto de los términos independientes del divisor por el cociente más el término independiente del residuo.

T.ID = T.Id x T.IQ+ T.IR

 Cuando se dividen polinomios homogéneos, el cociente y residuo, también son homogéneos, pero el grado absoluto del residuo es igual al grado absoluto del dividendo.

G.A. (R) =  G.A. (D)

Casos de la división

I.- Para el caso de dos monomios 
 Se dividen los signos de acuerdo a la regla de los signos.

 Se dividen los coeficientes.
 Se dividen las letras aplicando las leyes de exponentes.


II.- Para el caso de dos polinomios 
Podemos utilizar cualquiera de los siguientes métodos:
 Método general  o  normal.
 Método de los coeficientes indeterminados.
 Método de Horner.
 Regla de Ruffini.

Observación:
En la división de dos polinomios  estos deben ser completos y ordenados en forma descendente, con respecto a una letra llamada ordenatriz; si faltase alguna variable, ya sea en el dividendo o en el divisor, se completarán con ceros.

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