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Razón

Razón

Es una comparación establecida entre dos cantidades. Esta puede hacerse mediante la sustracción y la división, las mismas que se denominan razón aritmética y razón geométrica respectivamente.

Sin embargo hay otras formas de comparar dos cantidades; como «la diferencia de inversas», «la diferencia de cuadrados», etc.

Número decimal

Número decimal

Es la representación lineal de las fracciones en base 10, la cual se obtiene el dividir el numerador entre el denominador. 

F=ab,cdef

Clasificación de los números decimales:

A. Número decimal exacto o limitado:
0,354; 0,65; 3,4567;.....

B. Número decimal inexacto o ilimitado:

- Periódico puro:
0,44444.....; 0,232323......; 2,235235235....

- Períodico mixto:
0,2333....; 1,23444....; 3,4561616161..

Trigonometría

Trigonometría

Carta de un matemático a su novia

Carta de un matemático a su novia
Querida hipotenusa:
Deseo que te encuentres bien de salud en compañia de tu familia “triángulo”, ¿Qué se cuentan tus hermanos menores “catetos 1 y cateto 2”?. Recuerdo que la última vez te ayudé a encontrarlos. 
No imaginas que ancho y largo es el recuerdo de tu figura en mis retinas, el perímetro de tu figura que me hacia estallar haciéndome ver asteriscos por el universo; tu altura soberbia, tu cuerpo que visto desde cualquier ángulo levantaba enigmáticos postulados; tus áreas volcánicas que causaban erupción al verlos; tus líneas curvas en la parte posterior parecían reventar, tus ojos eran como 2 pozos cilíndricos iluminados y tus labios como 2 paréntesis dormidos cuya teoría y práctica me hacían suspirar. 
Como anhelo que pase pronto los 2 días que nos separan y que la intersección de nuestros conjuntos no sea vacio. Recuerda que tu eres mi complemento y suplemento, sin tí soy un ángulo agudo “alfa” y deseo todo el ángulo de tuamor;  y no traces la bisectriz, pues no deseo compartirte con otro ángulo. 
Mi amor por tí será infinito, si y sólo si, no te sales por la tangente; porque de ser así, te juro que te saco la Cotangente.
Me despido con infinitos besos matemáticos.
(Pitágoras)

Cifras de un sistema de numeración

Cifras de un sistema de numeración
  Todo sistema de numeración emplea tantas cifras (contando el cero) como unidades tiene la base.


En el sistema binario, cuya base es el 2, se emplean 2 cifras que son el 0 y el 1.  El 2 no puede emplearse, porque en este sistema dos unidades de un orden cualquiera forman una del orden inmediato superior y el 2 se escribió 10, lo que significa cero unidades del primer orden y una del segundo.

En el sistema ternario, cuya base es 3, se emplean 3 cifras que son el 0, 1 y 2.        El 3 no puede escribirse en este sistema, porque 3 unidades de un orden cualquiera forman una del orden inmediato superior y el 3 se escribirá 10 lo que significa cero unidades de primer orden y una del segundo.


En el sistema cuaternario cuya base es 4, se emplean cuatro cifras que son 0, 1, 2 y 3.  El 4 se escribe como 10 lo que significa cero unidades del primer orden y una del segundo.  Por ésta misma razón las cifras del sistema quinario son 0, 1, 3 y 4, en el sistema senario 0, 1, 2, 3, 4 y 5, etc....

Cuando la base del sistema es mayor que 10, las cifras que pasan de 10 suelen representarse por medio de las letras a =10, b el 11, c el 12, d el 13 y así sucesivamente.

Los Números Corporales

Los Números Corporales

Los Números Corporales

Es indudable que el procedimiento más “natural” para contar es el que utiliza las partes del cuerpo humano, especialmente los dedos de las manos y, eventualmente, de los pies. Aún hoy hablamos de dígitos (del latín digitus = dedo) para referirnos a las cifras 1 a 9 inclusive. Los antiguos romanos hablaban de “numerare per difitos”, “contar por los dedos”; así, el primitivo y el niño “cuentan con los dedos” (no “cuentan los dedos”).

Claro es que con los dedos de las manos sólo se podría contar hasta 10, pero en ciertos pueblos primitivos se utilizan para ese objeto otras partes del cuerpo. Así, por ejemplo, se parte del meñique de la mano izquierda, y siguiendo por los demás dedos se pasa a través de distintas partes del brazo y espalda izquierdos hasta el tórax, desde donde se recorre en sentido inverso el lado derecho del cuerpo, hasta terminar en el meñique de la mano derecha. Bastará entonces recordar a qué parte del cuerpo se ha llegado en una determinada enumeración para recordar o fijar el conjunto enumerado.

El uso de los dedos, como auxiliares para la numeración, se extendió a través de las épocas históricas, registrándose ese uso en Oriente, en Grecia, en Roma y hasta durante la Edad Media. Mediante un simbolismo adecuado, con los dedos se llegó hasta poder contar números muy grandes, de varios millares, y realizar operaciones sencillas. Así, durante la Edad Media, y actualmente en ciertas regiones de Europa oriental, se utilizó el siguiente procedimiento digital: para multiplicar un par de dígitos, ambos mayores que 5, basta extender en cada mano un número de dedos igual al exceso de cada factor respecto de 5 y mantener doblados los demás; a la suma de los dedos extendidos, que indica decenas, se le agrega el producto de los dedos doblados. Salta a la vista el fundamento de esta regla con la identidad:

(5 + a ) (5 + b ) = 10 (a + b ) + (5 - a ) (5 - b )

Quipus

Quipus
Fueron nuestros antepasados peruanos, los Incas los que idearon un dispositivo para contar, fundamentado sobre cuerdecillas con nudos, conocido con el nombre de Quipus (del quechua kipu = nudo), aunque su empleo se extendió a otros usos, convirtiendose para nuestro antiguo pueblo inca que no conoció la escritura en el cabal instrumento de la estadística del pueblo.

Se componía de un cordón grueso del cual pendían cuerdecillas de diferentes colores, según el objeto al que se destinaban. En cada cuerdecilla existian nudos que eran colocados a distintas alturas o niveles (las unidades en la parte inferior, las decenas a media altura, más alta las centenas y así sucesivamente), con lo cual se afirma que el sistema decimal ya fue utilizado por la cultura inca representandose con estos nudillos y las alturas, las cifras diferen- tes que utilizaban es posible que estos Quipus, permitian fijar otra clase de acontecimientos a representar, pues aún no se han podido decifrar exactamente todos los detalles que se establecen el cronista, el Inca Garcilazo de la Vega afirma en sus tratados que los nudos también oficiarían de letras, pero que a la vez los quipus no posean algo de fonética, sino que utilizando el color y la longitud de las cuerdecillas, la naturaleza, el orden y la disposición de los nudos permitían registrar cuanto dato podía notarse con utilidad para el Estado y su administración, conociendose así variables importantes como población según sexo, edad, nacimientos, exceso, enfermedades, extensión de las circunscripciones administrativas, ganados, tesoros, pertenencias, etc; así como efectivos de los ejércitos propios y enemigos.

Los Quipus se centralizaban en la capital, el Cuzco, desde donde funcionarios especiales con grandes dotes de estadistas y de memoria privilegiada, se encargaban de la interpretación, lectura, el mantenimiento y actualización de estas estadísticas necesarias para el orden.

Hoy en día causan verdadero asombro por sus similitudes con el hasta hoy usado sistema de numeración decimal y tratandose de decifrar los detalles de estos que secretos.
Los antiguos peruanos fueron pues grandes genios y estadistas de asombro.

Lewis Carroll

Lewis Carroll
La biografía que presentamos aquí es, sin duda, una de las mejores y más completas que existen sobre este hombre tan polémico. Fue escrita por el matemático James R. Newman y hemos decidido transcribirla intacta por respecto a él y al propio Lewis Carroll.

«......El reverendo Charles Lutwidge Dogson fue un matemático mediocre; enseñó en Oxford durante veintisiete años, sin brillar excepcionalmente, ni producir nada digno de perdurar en su disciplina. No necesito elogiar los famosos escritos de Lewis Carroll, pero quisiera señalar que el amor de Dogson por las matemáticas y su preocupación por algunos de sus conceptos están íntimamente relacionados con la forma que dio a sus fantasías. Esto se advierte especialmente en «A través del espejo», cuyas fantásticas inversiones anticipan algunos de los más revolucionarios descubrimientos de las matemáticas y de la física del siglo XX. Los escritos modernos no han ignorado el carácter profético de esas curiosas historias.

Nació en Daresbury en 1832, primer varón y tercer hijo de una familia de once hermanos, todos ellos tartamudos. Su padre era un clérigo acomodado que ascendió a archidiácono. De niño, Dogson demostró una «pintoresca precocidad» que incluía una prematura preocupación por el significado de los logaritmos, una gran afición por las marionetas y los espectáculos mágicos y la habilidad para inventar jeroglíficos matemáticos. Igual que otros niños, tenía sus animales favoritos, caracoles y ranas, pero en una perversa y original innovación, intentó hacer pelear dos gusanos. Con este propósito, se dice que los equipó con armas apropiadas, pero sus intentos fracasaron. Después de una temprana educación familiar, durante la que su padre le inculcó el interés por las matemáticas y la teología, fue a un colegio privado en Richmond y luego a Rugby. Fue un buen estudiante, excepcional en matemáticas y aceptable en disciplinas clásicas. Pero como era un «tipo raro», no fue feliz en Rugby. Mas tarde escribiría, «no se si ninguna consideración humana podría inducirme a pasar de nuevo por estos tres años». Se refugió en su trabajo literario.

Solía remar en el río Isis con las hijas del decano de la Iglesia de Cristo, las niñas Liddell, una de las cuales era precisamente Alicia. Ellas solían visitarlo para que las fotografiase o para comer con él.

«Alicia en el país de las maravillas» se publicó en 1865, «A través del espejo» siete años más tarde. Ambos tuvieron un gran éxito; dieron fama a Dodgson, lo cual le complació, y a la vez le hicieron objeto de la atención y de la curiosidad pública, lo que le aterró... Le proporcionaron también una modesta fortuna que usó a su manera, prestando a amigos necesitados, haciendo donativos a hospitales y otras entidades benéficas, regalando relojes de oro a jóvenes «sobrinos y sobrinas» y atendiendo a la diversión e incluso a la educación de la numerosa tribu de niños a los que adoraba.

 A medida que fue entrando en años, se hizo más susceptible, más intolerante y difícil.  Fue evadiéndose cada vez más del mundo real a otro imaginario de juegos, rompecabezas y paradojas lógicas.  Imaginaba sin cesar sistemas para mejorar cosas como «los torneos de tenis sobre hierba».  Como padecía de insomnio crónico y su salud era excelente, tenía tiempo sobrado para llevar hasta sus últimas y absurdas consecuencias cualquier inofensiva fantasía.

Tenía el hábito de trabajar durante toda la noche en su escritorio; también trabajaba en la cama sin luz, con ayuda de un instrumento de su propia invención llamado nictógrafo, que mantenía la escritura recta y la pluma sobre el papel.

El 6 de Enero de 1898 contrajo una infección de vías respiratorias y murió ocho días después.

Leonhard Euler

Leonhard Euler
Fue hijo de un clérigo, que vivía en los alrededores de Basilea. Su talento natural para las matemáticas se evidenció pronto por el afán y la facilidad con que dominaba los elementos bajo la tutela de su padre.

A muy temprana edad fue enviado a la universidad de Basilea, a los 17 años, cuando se graduó doctor, provocó grandes aplausos con un discurso probatorio, el tema del cual era una comparación entre los sistemas cartesiano y newtoniano.

Euler poseyó una asombrosa facilidad para los números, y el raro don de realizar mentalmente cálculos de largo alcance. Se recuerda que en una ocasión, cuando dos de sus discípulos, al realizar la suma de unas series de diecisiete términos, no estaban de acuerdo con los resultados en una unidad de la quincuagésima cifra significativa, se recurrió a Euler. Este repaso el cálculo mentalmente, y su decisión resultó ser correcta.

Esta capacidad, parece haber sido el resultado de su maravillosa concentración, aquel gran elemento del poder inventivo, del que el mismo Newton dio testimonio.

La apacibilidad de ánimo, la moderación y la sencillez de las costumbres fueron sus características como ha atestiguado su discípulo M. Fuss «su piedad era racional y sincera; su devoción ferviente». Euler continuó su trabajo hasta el día de su muerte, a los setenta y seis años de edad.

George Cantor

George Cantor
Nació en San Petersburgo (Rusia). Su madre era Rusa y su padre un comerciante Danés. En 1856 la familia se trasladó a Wiesbaden (Alemania) fueron 6 hermanos.

La disciplina en la familia era muy estricta y en la familia había verdadera obsesión por el éxito.

Su padre quería que estudiase ingeniería, pues había demanda de ingenieros y estaba bien pagados, sin embargo a Cantor no le gustó la idea y estudió matemáticas.

Estudió en el politécnico de Zurich y en Berlin. Sus profesores en Berlín fueron Weierstras, Kummer y Kronecker.

En 1869 entró como profesor a la universidad de Halle. Cantor esperaba siempre que le llamaran de las universidades más importantes (Berlín o Gotinga) pero la llamada no se produjo, se cree por la oposición de Kronecker con el que estaba enfrentado porque los trabajos de Cantor refutaban los fundamentos de los trabajos que realizaba Kronecker.
Cantor estudió los conjuntos infinitos.

Demostró que no todos los conjuntos infinitos son del mismo tamaño donde los conjuntos que todos diríamos que tienen más elementos, tienen los mismos. Por ejemplo hay el mismo número de números pares que de naturales, hay el mismo número de enteros que de naturales, hay el mismo número de racionales que de naturales. Sin embargo hay mas números reales que de naturales.

Sus teorías fueron muy controvertidas en su época y tuvo enfrentamientos con otros matemáticos.
Cantor padeció trastornos maniaco - depresivos, en varias etapas de su vida. Sólo al final de su vida se empezó a apreciar su trabajo, cuando era ya demasiado tarde pues su enfermedad mental ya estaba avanzado.
 
Murió en 1918 en un sanatorio mental.